Question

12．已知直线y=$\frac{-（n+1）}{n+2}$x+$\frac{1}{n+2}$（n为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为S_n，则 S₁+S₂+S₃+…S_n=$\frac{n}{4（n+2）}$．

Answer 1

分析 令x=0，y=0分别求出与y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出S_n，再利用拆项法整理求解即可．

解答 解：∵直线AB的解析式为：y=-$\frac{n+1}{n+2}$x+$\frac{1}{n+2}$，
∴当x=0时，y=$\frac{1}{n+2}$，
令y=0，则-$\frac{n+1}{n+2}$x+$\frac{1}{n+2}$=0，
解得x=$\frac{1}{n+1}$，
所以，S_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n+1}$•$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
所以，S₁+S₂+S₃+…+S_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{n}{2（n+2）}$=$\frac{n}{4（n+2）}$．
故答案为：$\frac{n}{4（n+2）}$．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出S_n，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点．