Question

【题目】如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=7．点P是长方形内一动点，点Q是DC边上的动点．若△ABP的面积为12，则AP+BP+PQ的最小值是_____．

Answer 1

【答案】14

【解析】

根据△ABP的面积为12，AB=8，从而可以得到点P到线段AB的距离，然后即可得到点P所在的直线，再根据最短路径，可以得到到A和B的距离之和最小的点P所在的位置，再根据点到直线的所有线段中垂线段最短，可以得到点P到线段DC的最短距离，从而可以得到AP+BP+PQ的最小值．

解：∵△ABP的面积为12，AB=8，

∴点P到线段AB的距离为=3，

∴点P所在的直线离线段AB的距离为3，

作点A关于点P所在的直线的对称点A′，连接BA′交点P所在的直线于点P′，作P′Q′⊥DC于点Q′，

则AP+BP+PQ的最小值就是BA′+P′Q′的值，

∵∠A′AB=90°，A′A=6，AB=8，

∴由勾股定理得：A′B=10，

∵AD=7，

∴P′Q′=7﹣3=4，

∴BA′+P′Q′=10+4=14，

故答案为：14．