题目内容
【题目】如图,在ABCD中,∠B=45°,过点C作CE⊥AD于点,连结AC,过点D作DF⊥AC于点F,交CE于点G,连结EF.
(1)若DG=8,求对角线AC的长;
(2)求证:AF+FG=EF.
【答案】(1)8;(2)详见解析.
【解析】
(1)根据平行四边形的性质得到∠ADC=∠B=45°,推出△CDE是等腰直角三角形,得到CE=DE,∠DEC=∠AEC=90°,求得∠EDG=∠ECA,根据全等三角形的性质即可得到结论;
(2)过E作EH⊥EF交DF于H,于是得到∠DEH=∠CEF,根据全等三角形的性质得到EF=EH,DH=CF,求得AF=HG,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.
解:(1)∵在ABCD中,∠B=45°,
∴∠ADC=∠B=45°,
∵CE⊥AD,
∴△CDE是等腰直角三角形,
∴CE=DE,∠DEC=∠AEC=90°,
∵DF⊥AC,
∴∠CFD=∠DEC=90°,
∴∠DGE=∠CGF,
∴∠EDG=∠ECA,
在△DEG≌△CEA中,
,
∴△DEG≌△CEA(ASA),
∴AC=DG=8;
(2)过E作EH⊥EF交DF于H,
∵∠FEH=∠DEC=90°,
∴∠DEH=∠CEF,
∵∠EDH=∠ECF,DE=CE,
在△DEH和△CEF中,
,
∴△DEH≌△CEF(ASA),
∴EF=EH,DH=CF,
∴AC﹣CF=DG﹣DH,
即AF=HG,
∵FH=FG+GH=EF,
∴AF+FG=EF.