Question

15．如图，已知C，D在∠AOB的平分线上，OA=OB，DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．求证：DM=DN．

Answer 1

分析 根据D在∠AOB的平分线上，得到∠AOC=∠BOC，证得△AOC≌△BOC，根据全等三角形的性质得到∠ACO=∠BCO，由平角的定义得到∠ACD=∠BCD，根据垂直的定义得到∠DMC=∠DNC=90°，于是得到△DMC≌△DNC，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵D在∠AOB的平分线上，
∴∠AOC=∠BOC，
在△AOC与△BOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOC=∠BOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠ACO=∠BCO，
∴∠ACD=∠BCD，
∵DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠DMC=∠DNC=90°，
在△DMC与△DNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMC=∠DNC}\\{∠MCD=∠NCD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DMC≌△DNC，
∴DM=DN．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，平角的定义，角平分线的定义，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．