Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC=45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF．

Answer 1

分析 作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，由ASA证明△ACD≌△CBG，得出CD=BG，∠CDA=∠CGB，证出BG=BD，∠FBD=∠GBF=$\frac{1}{2}$∠CBG，再由SAS证明△BFG≌△BFD，得出∠FGB=∠FDB，即可得出结论．

解答 证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：
∵∠CBG=90°，CF⊥AD，
∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠BCG，
在△ACD和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCG}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠CBG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD=BG，∠CDA=∠CGB，
∵CD=BD，
∴BG=BD，
∵∠ABC=45°，
∴∠FBD=∠GBF=$\frac{1}{2}$∠CBG，
在△BFG和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BD}\\{∠FBD=∠GBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△BFD（SAS），
∴∠FGB=∠FDB，
∴∠ADC=∠BDF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．