Question

19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是CB，BA延长线上的点，且BE=AF，连接DE，CF，CF交DE于点M，交AD于点H，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG．
（1）求证：四边形GECF是平行四边形；
（2）若FA=2，$\frac{AH}{AD}$=$\frac{1}{4}$，求EG的长．

Answer 1

分析 （1）证明△FBC≌△ECD，得到CF=BE，∠FCB=∠EDC，根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

解答 （1）证明：∵AB=BC，BE=AF，
∴BF=CE，
在△FBC和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠FBC=∠ECD}\\{FB=EC}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△ECD，
∴CF=BE，∠FCB=∠EDC，
∵EG=ED，
∴CF=EG，
∵∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠DEC+∠FCB=90°，
∴CF⊥DE，
∵EG⊥DE，
∴CF∥EG，
∴四边形GECF是平行四边形；
（2）解：∵$\frac{AH}{AD}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AH}{DH}$=$\frac{1}{3}$，
∵△FAH∽△CDH，
∴$\frac{FA}{CD}$=$\frac{AH}{DH}$=$\frac{1}{3}$，
∵FA=2，
∴CD=6，
∴CE=BF=FA+AB=8，
∴EG=DE=$\sqrt{C{E}^{2}+C{D}^{2}}$=10．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．