Question

10．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．求证：BD⊥CF．

Answer 1

分析 （1）根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明△CAF≌△BAD，证明结论；
（2）根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可．

解答 解：（1）BD=CF．
理由如下：由题意得，∠CAF=∠BAD=θ，
在△CAF和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=BA}\\{∠CDF=∠BDD}\\{FA=DA}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△BAD（SAS），
∴BD=CF；
（2）由（1）得△CAF≌△BAD，
∴∠CFA=∠BDA，
∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠ADN=90°，
∴∠CFA+∠FNH=90°，
∴∠FHN=90°，即BD⊥CF．

点评 本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转变换的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握旋转角的定义和旋转变换的性质、正确作出辅助性是解题的关键．