Question

18．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小：∠ABD=30°-$\frac{1}{2}$α （用含α的式子表示）
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明．

Answer 1

分析 （1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；
（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°-$\frac{1}{2}$α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$α，求出∠BEC=$\frac{1}{2}$α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可．

解答 （1）解：∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，
即∠ABD=30°-$\frac{1}{2}$α；

（2）△ABE是等边三角形，
证明：连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，
则BC=BD，∠DBC=60°，
∵∠ABE=60°，
∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-$\frac{1}{2}$α，且△BCD为等边三角形，
在△ABD与△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$α，
∵∠BCE=150°，
∴∠BEC=180°-（30°-$\frac{1}{2}$α）-150°=$\frac{1}{2}$α=∠BAD，
在△ABD和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠BAD}\\{∠EBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBC（AAS），
∴AB=BE，
∴△ABE是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．