Question

8．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=$2\sqrt{2}$，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为$\frac{π}{2}$-1（结果保留π）．

Answer 1

分析 连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S_{四边形DGCH}=S_{四边形DMCN}，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．

解答 解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，四边形DMCN是正方形，DM=1．
则扇形FDE的面积=$\frac{90π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$=$\frac{π}{2}$．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DMG=∠DNH\\∠GDM=∠HDN\\ DM=DN\end{array}\right.$，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S_{四边形DGCH}=S_{四边形DMCN}=1．
∴阴影部分的面积=$\frac{π}{2}$-1．
故答案为：$\frac{π}{2}$-1．

点评 本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出正方形，得到S_{四边形DGCH}=S_{四边形DMCN}是解答此题的关键．