题目内容
13．已知a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，∠C=90°，且cosB=$\frac{3}{5}$，b-a=3．（1）求a，b，c的值；
（2）若关于x的一元二次方程x2-3（m+1）x+m2-9m+20=0有两个实数根，是否存在整数m，使方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边c的平方？如果存在，请求出满足条件的m的值；如果不存在，请说明理由．
分析 （1）首先根据余弦的定义表示出∠B的邻边和斜边，然后根据两边之差求得三边的长即可．
（2）根据根与系数的关系得出两个实数根的平方和，根据题意得到关于m的方程，从而可以求出m的值并验根．
解答 解：（1）在△ABC中，∠C=90°，cosB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{3}{5}$，
设a=3k，c=5k，
则b=4k，
又∵b-a=3，
∴4k-3k=k=3，
∴a=9，b=12，c=15；
（2）不妨设原方程的两根为x1，x2，
由根与系数的关系得x1+x2=3（m+1），
x1x2=m2-9m+20，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=9（m+1）2-2（m2-9m+20）
=7m2+36m-31，
由已知有：x12+x22=152，
∴7m2+36m-31=152=225，
解这个方程得m1=-$\frac{64}{7}$，m2=4，
又∵m必须为整数，
∴m=4．
点评 此题着重考查了根的判别式，根与系数的关系．在利用根与系数的关系解题时，要特别注意一定要利用根的判别式进行检验．
练习册系列答案
相关题目
如图，点E、F分别是等边△ABC中AC、AB边上的中点，以AE为边向外作等边△ADE．
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AF=12，CF=5，求四边形BDFG的周长．
5．一元二次方程x2-3x+3=0的根的情况是（ ）
| A． | 有两个不相等的实数根 | B． | 有两个相等的实数根 | ||
| C． | 没有实数根 | D． | 不能确定 |
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD=4，CD=2，∠ADB=3∠ABD，则AD=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．