Question

5．已知x为任意实数，则$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值为2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 因为$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$=$\sqrt{{x}^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+{1}^{2}}$，所以欲求$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值，相当于如图A（0，5），B（4，1），在x轴上找一点P，使得PA+PB最短，作点B关于x轴的对称点B′（4，-1），PA+PB的最小值为AB′的长．

解答 解：∵$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$=$\sqrt{{x}^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+{1}^{2}}$，
∴欲求$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值，相当于如图A（0，5），B（4，1），在x轴上找一点P，使得PA+PB最短，
作点B关于x轴的对称点B′（4，-1），
PA+PB的最小值为AB′的长=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值为2$\sqrt{13}$．
故答案为2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、二次根式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把代数问题转化为几何问题解决，属于中考填空题中的压轴题．