Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=6cm，BC=8cm．
（1）求AB边上中线CM的长；
（2）点P是线段CM上一动点（点P与点C、点M不重合），求出△APB的面积y（平方厘米）与CP的长x（厘米）之间的函数关系式并求出函数的定义域；
（3）是否存在这样的点P，使得△ABP的面积是凹四边形ACBP面积的

3

2

？如果存在，请求出CP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：勾股定理,三角形的面积,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）在直角三角形中，已知两直角边，根据勾股定理即可求斜边的长，根据斜边的中线长是斜边长的一半的性质即可以解题；
（2）根据S_△AMP=S_△ACM-S_△APC即可求出

1

2

y，从而可得出答案；
（3）△ABP的面积是凹四边形ACBP面积的

3

2

，可知△ABP的面积是△ACB面积的

3

5

，据此列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=

62+82

=5（cm），
在直角三角形中，根据斜边的中线长是斜边长的一半的性质，
∴CM=

1

2

AB=5（cm）；

（2）∵CP=x，CM=AM，
∴∠CAB=∠ACM，
∵sin∠CAB=

BC

AB

=

4

5

，
∴sin∠ACM=

4

5

，
∴S_△AMC=

1

2

×6×5×sin∠ACM=12（cm²），
S_△ACP=

1

2

×6×x×

4

5

=

12

5

x（cm²），
∵△APB的面积y，
∴

1

2

y=S_△AMC-S_△ACP=12-

12

5

x，
∴y=24-

24

5

x（0＜x＜5）；

（3）△ABP的面积是凹四边形ACBP面积的

3

2

时，
24-

24

5

x=

1

2

×6×8，
解得x=2.5．
故CP的长是2.5cm．

点评：本题考查了一次函数及勾股定理，难度较大，关键是掌握在直角三角形中，斜边的中线长是斜边长的一半．