题目内容

13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（1，-4）是抛物线顶点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3．
（2）设直线BC的解析式为y=kx+m，则不等式x2+bx+c≥kx+m的解集为x＜0或＞3．
（3）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）当四边形 ABPC的面积最大时，求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（5）若把条件“点P是直线BC下方的抛物线上一动点．”改为“点P是抛物线上的任一动点．”，其它条件不变，当以P、C、D、B为顶点的四边形为梯形时，直接写出点P的坐标．

分析 （1）直接设成顶点式即可得出抛物线解析式；
（2）先确定出点B，C坐标，再根据图象直接写出范围；
（3）利用菱形的性质得出PO=PC即可得出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可得出结论；
（4）先利用坐标系中几何图形的面积的计算方法建立函数关系式即可求出面积的最大值；
（5）先求出直线BC，BC，CD的解析式，分三种情况利用梯形的性质，一组对边平行即可得出直线DP1，CP2，BP3的解析式，分别联立抛物线的解析式建立方程组求解即可．

解答 解：（1）∵点D（1，-4）是抛物线y=x2+bx+c的顶点，
∴y=（x-1）2-4=x2-2x-3，
故答案为y=x2-2x-3；

（2）令x=0，
∴y=-3，
∴C（0，-3），
令y=0，∴x2-2x-3=0，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
∴不等式x2+bx+c≥kx+m的解集为x＜0或＞3，
故答案为x＜0或＞3；

（3）如图1，∵四边形POP′C为菱形，
∴PO=PC，
∵C（0，-3），
∴点P的纵坐标为-$\frac{3}{2}$，
∵P在抛物线y=x2-2x-3上，
∴-$\frac{3}{2}$=x2-2x-3，
∴x=$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$或x=$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$（舍），
∴P（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$．-$\frac{3}{2}$）；

（4）如图2，由（1）知，B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC的解析式为y=x-3，
过点P作PE∥y轴交BC于E，
设P（m，m2-2m-3），（0＜m＜3）
∴E（m，m-3），
∴PE=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴S四边形ABPC=S△ABC+S△PCE+S△PBE
=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$PE•|xP|+$\frac{1}{2}$PE•|xB-xP|
=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$PE（|xP|+|xB-xP|）
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$（-m2+3m）×（m+3-m）
=6+$\frac{1}{2}$×（-m2+3m）
=-$\frac{1}{2}$（m2-3m）+6
=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{57}{8}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，S四边形ABPC最大=$\frac{57}{8}$．

（5）如图，由（1）知，B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴直线BC的解析式为y=x-3，直线BD的解析式为y=2x-6，直线CD的解析式为y=-x-3，
∵以P、C、D、B为顶点的四边形为梯形，
∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3①；
①当DP1∥BC时，
∴直线DP1的解析式为y=x-5②，
联立①②解得，点P1（2，-3），[另一个点为（1，-4）和点D重合，舍去]
②当CP2∥BD时，∴直线CP2的解析式为y=2x-3③，
联立①③解得点P2（4，5）
③当BP3∥CD时，∴直线BP3∥CD的解析式为y=-x+3④，
联立①④解得点P3（-2，5），
即：以P、C、D、B为顶点的四边形为梯形时，点P的坐标为（-2，5）、（2，-3）或（4，5）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，不规则图形的面积的计算方法，菱形的性质，梯形的性质，解本题的关键是用方程或方程组的思想解决问题．

练习册系列答案
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19．下列四组图形中，一定相似的图形是（　　）
A．各有一个角是30°的两个等腰三角形
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C．各有一个角是120°的两个等腰三角形
D．各有一个角是直角的两个三角形
4．计算：
（1）（-x）•x2•（-x）6；
（2）y•ym-1-3y3•ym-3；
（3）（-2a）3-（-a）•（3a）2；
（4）（y4）2÷（y2）3•y2；
（5）（x-y）3•（x-y）2•（y-x）；
（6）（22010-22009）0-（-$\frac{1}{4}$）-2+（-0.125）2009×82010；
（7）（3x2y-2x+1）（-2xy）；
（8）（4×106）×（-$\frac{1}{2}$×10-3）；
（9）（-4am+1）3÷[2（2am）2•a]；     
（10）5ab3•（-$\frac{3}{4}$a3b2）•（-$\frac{2}{3}$ab4c）3．
1．计算题．
（1）-7+5-12+3；
（2）（-3）×（-9）-8÷（-2）；
（3）（-18）×（-$\frac{1}{9}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{6}$）；
（4）（-5）3×[2-（-6）]-300÷5；
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18．一根头发的直径是0.000 02m，用科学记数法表示为2×10-5m．
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（3）如图2，连接BD，点N为BD中点，连接GN，若AD=GF，请直接写出NG、GE、EA的数量关系．

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