Question

2．如图，菱形ABCD中，∠D=60°，E为线段CD上一点，连接BE，将线段BC沿直线BE翻折交对角线AC于点F，连接EF，则∠FEB的角度为30°．

Answer 1

分析 如图，作∠ACB的平分线CP交BE于P，连接PF．首先证明点P是△BCF的内心，推出∠FPO=60°，∠OCP=30°，由△FOP∽△EOC，推出$\frac{FO}{EO}$=$\frac{OP}{OC}$，推出$\frac{OF}{OP}$=$\frac{EO}{OC}$，由∠FOE=∠POC，推出△EOF∽△COP，推出∠FEO=∠OCP=30°．

解答 解：如图，作∠ACB的平分线CP交BE于P，连接PF．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠ABC=60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ACD=60°，
∵BP平分∠FBC，
∴点P是△BCF的内心，
∴PF平分∠BFC，∠OCP=30°，
∵∠CBF+∠CFB=120°，
∴∠FPO=∠PFB+∠PBF=$\frac{1}{2}$∠BFC+$\frac{1}{2}$∠FBC=$\frac{1}{2}$（∠BFC+∠CBF）=60°，
∴∠FPO=∠OCE，∵∠FOP=∠EOP，
∴△FOP∽△EOC，
∴$\frac{FO}{EO}$=$\frac{OP}{OC}$，
∴$\frac{OF}{OP}$=$\frac{EO}{OC}$，∵∠FOE=∠POC，
∴△EOF∽△COP，
∴∠FEO=∠OCP=30°，即∠FEB=30°，
故答案为30°．

点评 本题考查翻折变换、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．