Question

 菱形ABCD中，∠ABC=45⁰，点P是对角线BD上的任一点，点P关于直线AB、AD、CD、BC的对称点分别是点E、F、G、H， BE与DF相交于点M，DG与BH相交于点N，证明:四边形BMDN是正方形。

Answer 1

∵四边形ABCD是菱形，

        ∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=∠BDC。

        ∵∠ABC=45⁰，点P关于直线AB、AD、CD、BC的对称点分别是点E、F、G、H，

        ∴∠MBN=∠MDN=90⁰，∠MBC=∠MDB=45⁰。

∴△BDM是等腰直角三角形。

∴∠BMD=90⁰，BM=DM。

        ∴四边形BMDN是正方形。

【考点】菱形的性质，轴对称的性质，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性质。