Question

14．如图1，在△ABC中，tan∠A=$\frac{1}{2}$，∠B=45°，垂直于AB的直线与折线A-C-B相交于点E，垂足为点F，设AF=x，△AEF的面积为y，y与x之间的函数图象如图2，则当y=8时，x的值是4$\sqrt{2}$或6+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 当点E在AC上时，根据已知条件得到EF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$x，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；如图1，过C作CG⊥AB于G，由如图2知，当E与C，F与G重合时，△AEF的面积最大，此时，x=8，y=16，求得AG=8，CG=4，得到AB=12，当点E在BC上时，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：当点E在AC上时，
∵EF⊥AB，tan∠A=$\frac{1}{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$x•x=$\frac{1}{4}$x²，
∴y=8时，即$\frac{1}{4}$x²=8，
解得x=4$\sqrt{2}$（负值舍去），
如图1，过C作CG⊥AB于G，
由如图2知，当E与C，F与G重合时，
△AEF的面积最大，此时，x=8，y=16，
即AG=8，CG=4，
∵∠B=45°，
∴BG=CG=4，
∴AB=12，
当点E在BC上时，
y=$\frac{1}{2}$•x•（12-x）=-$\frac{1}{2}$x²+6x，
∴y=8时，即-$\frac{1}{2}$x²+6x=8，
解得x=6+2$\sqrt{5}$（负值舍去），
∴当y=8时，x的值是4$\sqrt{2}$或6+2$\sqrt{5}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$或6+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积的计算，函数与图形的性质，掌握的识别图象是解题的关键．