Question

3．已知△ABC，小明按如下步骤作图（如图）：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD．根据以上步骤作图，解答下列问题：
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，EC=4，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）直接根据SSS证明全等；
（2）根据全等得∠BCA=∠DCA=45°，又由CD=CB得∠CBD=∠CDB=45°，所以得出BE的长，再由直角△ABE中，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可以求出AB=8．

解答 证明：（1）∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）∵△ABC≌△ADC；
∴∠BCA=∠DCA=45°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴CE=BE=4，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，∠BAC=30°，
∴AB=2BE=2×4=8．

点评 本题是通过基本作图来考查了全等三角形的性质和判定，属于基础题，难度不大；关键是运用全等三角形的对应角相等得出45°角，再利用等角对等边得出边的关系．