Question

19．问题引入：
（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$α（用α表示）；如图②，∠CBO=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ACB，∠A=α，则∠BOC=120°+$\frac{1}{3}$α（用α表示）
拓展研究：
（2）如图③，∠CBO=$\frac{1}{3}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=120°-$\frac{1}{3}$α（用α表示），并说明理由．
类比研究：
（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=$\frac{1}{n}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{n}$∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=$\frac{（n-1）×180°}{n}$-$\frac{1}{n}$α．

Answer 1

分析 （1）如图①，根据角平分线的定义可得∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$α；如图②，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°+$\frac{1}{3}$α；
（2）如图③，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°-$\frac{1}{3}$α；
（3）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=$\frac{（n-1）×180°}{n}$-$\frac{1}{n}$α．

解答 解：（1）如图①，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A
=90°+$\frac{1}{2}$α；
如图②，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{3}$（180°-∠A）
=120°+$\frac{1}{3}$∠A
=120°+$\frac{1}{3}$α；

（2）如图③，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠DBC+∠ECB）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠A+∠ACB+∠A+ABC）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠A+180°）
=120°-$\frac{1}{3}$α；

（3）在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{n}$（∠DBC+∠ECB）
=180°-$\frac{1}{n}$（∠A+∠ACB+∠A+ABC）
=180°-$\frac{1}{n}$（∠A+180°）
=$\frac{（n-1）×180°}{n}$-$\frac{1}{n}$α．
故答案为90°+$\frac{1}{2}$α，120°+$\frac{1}{3}$α；120°-$\frac{1}{3}$α；$\frac{（n-1）×180°}{n}$-$\frac{1}{n}$α．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．