Question

20．如图，在矩形ABCD中，BC=4，AE⊥BD于E，若∠BAE=30°，则S_△ECD=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得出AD=BC=4，AB=CD，∠DAB=∠ABC=90°，求出∠ABE=∠DAE=60°，∠ADB=30°，解直角三角形求出AE、BE、DE，过C作CF⊥BD于F，证出AE=CF，根据三角形面积公式求出即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，BC=4，
∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=BC=4，AD∥BC，
∵AE⊥DB，
∴∠AEB=∠AED=90°，
∵∠BAE=30°，
∴∠ABE=∠DAE=60°，∠ADB=∠DBC=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=2，
在Rt△ABE中，
∵cos∠BAE=cos30°=$\frac{AE}{AB}$，tan∠BAE=tan30°=$\frac{BE}{AE}$，
∴AB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△BAD中，BD=$\frac{AD}{cos30°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴DE=BD-BE=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
过C作CF⊥BD于F，
则∠AEB=∠CFD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△AEB和△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFD}\\{∠ABE=∠CDF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴CF=AE=2，
∴S_△ECD=$\frac{1}{2}$×DE×CF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出DE和CF的长．