Question

11．通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时有两个实数根：x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，于是：x₁+x₂=$-\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x²+kx+k+1=0的两实数根分别为x₁，x₂，且x₁²+x₂²=1，则k的值为-1．

Answer 1

分析 由方程的有两个实数根x₁、x₂可得△=k²-4（k+1）≥0，求得k的范围，又由x₁+x₂=-k，x₁x₂=k+1及x₁²+x₂²=1可求得k的值．

解答 解：∵x₁，x₂为一元二次方程x²+kx+k+1=0的两实数根，
∴△=k²-4（k+1）≥0，且x₁+x₂=-k，x₁x₂=k+1，
解得：k≤2-2$\sqrt{2}$或k≥2+2$\sqrt{2}$，
又∵x₁²+x₂²=1，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1，
∴（-k）²-2（k+1）=1，即k²-2k-3=0，
解得：k=-1或k=3（舍），
故答案为：-1．

点评 本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根的判别式及根与系数的关系的是关键．