Question

13．在定圆内有两条互相垂直的弦AC、BD，求证：AB²+BC²+CD²+DA²为定值．

Answer 1

分析 作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，连接OA，OB，OC，OD，设⊙O的半径为R（定值），AC，BD的交点为H，AC=2a，BD=2b，利用垂径定理可得AE=CE=a，BF=CF=b，OE=FH，OF=EH，由勾股定理得a²+b²+EH²+FH²=2R²，等量代换得出结论．

解答 证明：作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，连接OA，OB，OC，OD，
设⊙O的半径为R（定值），AC，BD的交点为H，AC=2a，BD=2b，
则AE=CE=a，BF=CF=b，OE=FH，OF=EH，OE²+a²=R²，OF²+b²=R²，
∴a²+b²+EH²+FH²=2R²，
∵AC⊥BD，
∴AB²+BC²+CD²+DA²=2AH²+2BH²+2CH²+2DH²
=2（a+EH）²+2（b-HF）²+2（a-EH）²+2（b+FH）²
=4（a²+b²+EH²+FH²）
=8R²
=定值．

点评 本题主要考查了垂径定理和勾股定理，作出适当的辅助线，设半径为定值R是解答此题的关键．