Question

19．如图，在?ABOC中，对角线相交于点E，双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的一支经过C，E两点，若?ABCD的面积为10，求k的值．

Answer 1

分析 过点C作CD⊥x轴于点D，作CF⊥y轴于点F；过点E作EM⊥x轴于点M，作EN⊥y轴于点N，设点C的坐标为（m，$\frac{k}{m}$），点E的坐标为（n，$\frac{k}{n}$）（n＜m＜0）．由四边形ABOC为平行四边形可得出“EN为梯形CFOB的中位线，EM为△BCD的中位线”，结合三角形中位线以及梯形中位线的性质可得出m、n的关系，由三角形的面积公式用m、n、k表示出S_△OBC，再结合?ABCD的面积为10，即可求出k的值．

解答 解：过点C作CD⊥x轴于点D，作CF⊥y轴于点F；过点E作EM⊥x轴于点M，作EN⊥y轴于点N，如图所示．

设点C的坐标为（m，$\frac{k}{m}$），点E的坐标为（n，$\frac{k}{n}$）（n＜m＜0）．
∵四边形ABOC为平行四边形，
∴BE=EC，EN为梯形CFOB的中位线，EM为△BCD的中位线．
∵CD=2EM，即-$\frac{k}{m}$=-2$\frac{k}{n}$，
∴n=2m．
∴OB=2EN-CF=-（2n-m）=-3m．
${S}_{△BOC}=\frac{1}{2}{S}_{平行四边形ABOC}$=$\frac{1}{2}$OB•CD=$\frac{1}{2}$×（-3m）•$\frac{k}{m}$=$\frac{1}{2}$×10=5，
解得：k=-$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、梯形中位线的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是找出m、n之间的关系．本题属于中档题，有点难度，解决该题型题目时，需要构建一个梯形，根据梯形与三角形中位线的性质用m、n表示出各边长，再结合三角形的面积公式求出k值．