Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，P是射线AB上的一个动点，PQ⊥PC，交线段CB的延长线于点Q．
（1）当BP=BC时，求证：BQ=BP；
（2）当点P在边AB上且∠A=30°时，设BP=x，BQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠A=30°，且BP=$\frac{5}{2}$时，请直接写出BQ的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的两个底角相等推知∠BPC=∠BCP；然后由垂直的定义、等量代换证得∠BPQ=∠BQP．易证结论；
（2）作PH⊥BC，垂足为点H．通过解直角△ABC知∠ABC=60°，BC=3．则根据图示与勾股定理求得，PH²+QH²=CQ²-（PH²+CH²），即2PH²+QH²=CQ²-CH²．所以将有关线段的长度代入其中，即可得到y与x的关系式．

解答 （1）证明：∵BP=BC，
∴∠BPC=∠BCP．
∵PQ⊥PC，
∴∠BPC+∠BPQ=90°，∠BCP+∠BQP=90°．
∴∠BPQ=∠BQP．
∴BQ=BP；

（2）解：作PH⊥BC，垂足为点H．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，
∴∠ABC=60°，BC=3．
∵BP=x，
∴BH=$\frac{x}{2}$，PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
∴CH=3-$\frac{x}{2}$．
∵PQ²=PH²+QH²，PQ²=CQ²-CP²=CQ²-（PH²+CH²），
∴PH²+QH²=CQ²-（PH²+CH²），
即2PH²+QH²=CQ²-CH²．
∴2×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）²+（y+$\frac{x}{2}$）²=（y+3）²-（3-$\frac{x}{2}$）²．
整理，得xy-6y=3x-2x²，
∴所求的函数解析式为y=$\frac{2{x}^{2}-3x}{6-x}$．
定义域为1.5＜x＜6．

（3）解：当BP=$\frac{5}{2}$时，则x=$\frac{5}{2}$，y=$\frac{2×（\frac{5}{2}）^{2}-3×\frac{5}{2}}{6-\frac{5}{2}}$=$\frac{10}{7}$．

点评 本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，以及列函数解析式，关键是掌握在直角三角形中，30度角所对的直角边是所对的斜边的一半．等角对等边．