Question

18．已知：如图，在?ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于点E，∠ABC的平分线BG交CE于点F，交AD于点G．
（1）求证：AE=DG．
（2）若BG将AD分成3：1的两部分，且AD=20，求?ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）由在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，证出△ABG与△DCE是等腰三角形，得出AG=DE，则可证得结论；
（2）由BG将AD分成3：1的两部分，且AD=20，可求得AB的长，继而求得?ABCD的周长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AGB=∠CBG，∠DEC=∠BCE，
∵∠BCD的平分线CE交AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，
∴∠ABG=∠CBG，∠DCE=∠BCE，
∴∠ABG=∠AGB，∠DCE=∠DEC，
∴AB=AG，CD=DE，
∴AG=DE，
∴AD-AG=AD-DE，
∴AE=DG．
（2）解：∵BG将AD分成3：1的两部分，且AD=20，
∴AG=$\frac{3}{4}$AD=15，
∴AB=AG=15，
∴?ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（15+20）=70．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△ABG与△DCE是等腰三角形是关键．