Question

3．已知，如图，?ABCD中，BC=8cm，CD=4cm，∠B=60°，点E从点A出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点E作EF⊥CD，垂足是F，连接EF交AD于点M，过M作MN∥AB，MN与BC交于点N，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）
（1）用含t的代数式表示线段AM的长：AM=2t；
（2）是否存在某一时刻t，使EN⊥BC，求出相应的t值，若不存在，说明理由；
（3）设四边形AEFN的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（4）点P是AC与NF的交点，在点E的运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠MNP=45°？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）在RT△AEM中，根据AM=2AE即可解决问题．
（2）在△OMN中，MN=4，∠NOM=90°，∠OMN=60°根据cos60°=$\frac{MO}{MN}$=$\frac{\frac{3}{2}t}{4}$=$\frac{1}{2}$即可解决问题．
（3）根据S_{四边形AEFN}=S_△AEM+S_△AMN+S_△MNF=$\frac{1}{2}$•AE•EM+$\frac{1}{2}$•AM•h+$\frac{1}{2}$•MN•MF即可解决．
（4）可以证明MN=MF，由此列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠EAD=∠ABC=60°，
∵EF⊥CD，
∴EF⊥AB，
在RT△AME中，∵∠AEM=90°，AE=t，∠EMA=30°，
∴AM=2AE=2t，
故答案为2t．
（2）存在，如图1中，设AM交EN于点O，
∵EN⊥BC，
∴ENB=∠MON=∠AOE=90°，
在△AOE中，∠AOE=90°，∠EAB=60°，AE=t，
∴AO=$\frac{1}{2}$t，OM=$\frac{3}{2}$t，
∵MN∥AB，
易得MN=AB=4，且∠NMA=60°，
在△OMN中，MN=4，∠NOM=90°，∠OMN=60°，
∴cos60°=$\frac{MO}{MN}$=$\frac{\frac{3}{2}t}{4}$=$\frac{1}{2}$．解得t=$\frac{4}{3}$；
（3）如图1中，由（1），（2）知AE=t，EM=$\sqrt{3}$t，AM=2t，AD与BC之间的距离h为2$\sqrt{3}$，MN=4，
在△MDF中，MD=8-2t，∠D=60°，
∴DF=4-t，MF=$\sqrt{3}$DF=$\sqrt{3}$（4-t），
∴S_{四边形AEFN}=S_△AEM+S_△AMN+S_△MNF=$\frac{1}{2}$•AE•EM+$\frac{1}{2}$•AM•h+$\frac{1}{2}$•MN•MF
=$\frac{1}{2}$•t•2t+$\frac{1}{2}$•2t•2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$•4•$\sqrt{3}$（4-t）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+8$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+8$\sqrt{3}$（0＜t＜4）．
（4）如图1中，∵∠MNP=45°，∠NMF=90°，
∴∠MNF=∠MFN=45°，
∴MN=MF，
∴4=$\sqrt{3}$（4-t），
∴t=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、30度角所对的直角边等于斜边一半、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握特殊三角形边角之间的关系，学会分割法求面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．