Question

17．如图．△ABC中，AB=BC=4，CD∥AB，过D点的直线交AC、AB于点F、E，交CB的延长线于点G，DF=EF．
（1）求证：AE=CD；
（2）若GB=2，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由CD∥AB可得∠D=∠AEF，由全等三角形的判定定理（ASA）可得△CDF≌△AEF，由全等三角形的性质可得结论；
（2）由CD∥AB可得△GBE∽△GCD，由相似三角形的性质可得3BE=AE，易得BE的长．

解答 （1）证明：∵CD∥AB，
∴∠D=∠AEF，
在△CDF与△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AEF}\\{DF=EF}\\{∠DFC=∠EFA}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△AEF（ASA）
∴AE=CD；

（2）解：∵CD∥AB，
∴△GBE∽△GCD，
∴$\frac{GB}{GC}=\frac{BE}{CD}$，
∴$\frac{2}{6}=\frac{BE}{CD}$，
∵AE=CD，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}$，
∴3BE=AE，
∵AB=4，
∴AE+BE=4，
即4BE=4，
∴BE=1．

点评 本题主要考查了全等三角形和相似三角形的性质及判定定理，综合运用定理是解答此题的关键．