Question

4．问题背景  
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB，AC为底边向三角形ABC的外侧作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且AD⊥AC，AE⊥AB，连结DE，交AB于点F，试探究线段FB，FA之间的数量关系．
探究策略  
①小明是这样思考的：如图1．当∠BAC=45°时，作EG⊥AC交AB于点G，则FA=FG．
②小颖是这样思考的：如图2，当么∠BAC=30°时，作DG∥AE交AB于点G．则FA=FG
任务要求：
（1）小明、小颖的判断正确吗？说明理由．
（2）请选择图3中来探究线段FB、FA的数量关系，并说明理由．
（3）小明、小颖继续研究图3，结果发现以下结论：①cos∠BAC=$\frac{AE}{AD}$；②AD²-AE²=$\frac{1}{4}A{B^2}$，请你选择其中之一进行证明．

Answer 1

分析 （1）①小明的判断正确；先求得四边形BCEG是平行四边形，进而根据AAS证得△ADF≌△EGF，即可证得FA=FG．
②小颖的判断正确；先证得AE=AC=$\frac{AB}{{\sqrt{3}}}=\frac{2AG}{{\sqrt{3}}}=GD$．然后证得△EAF≌△DGF，即可证得FA=FG．
（2）作EG⊥AC交AB于点G，连结DG，则有EG垂直平分AC，通过证得DG⊥AB，然后根据AD⊥AC，AE⊥AB即可证得四边形ADGE是平行四边形，证得GF=AF，从而证得FB=3FA．
（3）根据AD⊥AC，AE⊥AB，证得∠DAB=∠EAC，进而根据等腰三角形的性质证得∠DAB=∠DBA=∠EAC=∠ECA，得出△ACE∽△ABD，继而证得$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$，即可证得cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$，在Rt△ADG中，AD²-GD²=AD²=${（\frac{1}{2}AB）^2}$，由（1）可知：GD=AE，即可证得AD²一AE²=$\frac{1}{4}A{B^2}$．

解答 解：（1）①小明的判断正确；如图1，
理由：∵在等腰三角形ABD中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°，
∵AD⊥AC，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=45°，
∵三角形ABD是以AB为底边的等腰三角形，
∴∠ABD=45°，∠ADB=90°，
∴四边形ADBC是正方形，
∴BC=AD，
∵AE⊥AB，∠BAC=45°，
∴∠EAC=45°，
∵三角形ACE是以AC为底边等腰三角形，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACE=∠BAC=45°，
∴AB∥CE，
∵EG⊥AC，∠ACB=90°，
∴BC∥GE，
∴四边形BCEG是平行四边形，
∴GE=BC=AD，GE∥AD，
∴∠DAF=∠GEF，
在△ADF和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠GEF}\\{∠AFD=∠GFE}\\{AD=EG}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EGF（AAS），
∴FA=FG．
②小颖的判断正确，如图2，
∵∠BAC=30°，AE⊥AB，
∴∠CAE=60°，
∵△ACE是等腰三角形，
∴△ACE是等边三角形．
同理：△ABD是等边三角形，
∴AE=AC=$\frac{AB}{{\sqrt{3}}}=\frac{2AG}{{\sqrt{3}}}=GD$．
∵DG∥AE，
∴∠AEF=∠GDF，
在△EAF和△DGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠GDF}\\{∠AFE=∠GFD}\\{AE=GD}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△DGF（AAS），
∴FA=FG．
（2）作EG⊥AC交AB于点G，连结DG，则有EG垂直平分AC，如图3，
∵∠ACB=90°，
∴EG∥BC．
∴AG=BG．
∵AD=BD，
∴DG⊥AB，
又∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴EG∥AD，DG∥AE，
∴四边形ADGE是平行四边形．
∴GF=AF，
∴FB=3FA．
（3）①∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠DAB=∠EAC，
∵三角形ABD和三角形ACE是分别以AB，AC为底边的等腰三角形，
∴∠DAB=∠DBA=∠EAC=∠ECA，
∴△ACE∽△ABD．
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
∴cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
②在Rt△ADG中，AD²-GD²=AD²=${（\frac{1}{2}AB）^2}$，
由（1）可知：GD=AE，
∴AD²-AE²=$\frac{1}{4}A{B^2}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．