Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠B=2，BC=3$\sqrt{2}$．边AB上一动点M从点B出发沿B→A运动，动点N从点B出发沿B→C→A运动，在运动过程中，射线MN与射线BC交于点E，且夹角始终保持45°．设BE=x，MN=y，则能表示y与x的函数关系的大致图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 分两种情况讨论：①当点N在边BC时，点E与N重合如图1，此时0＜x≤3$\sqrt{2}$．过点M作MG⊥BC于点G，解等腰直角三角形MGN，得出GN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y．由tan∠B=2，得出BG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$y．由BG+GE=BE得到$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{4}$y=x，即y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x；②当点N在BC延长线上时，如图2，此时3$\sqrt{2}$＜x≤$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．过点M作MG⊥BC于点G，过点N作NF⊥BC于点F，过点N作NH⊥MG于点H，设NE=a，求出MH=HN=GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，NF=FE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，MG=GE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（y+a），BG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（y+a）．由BC=BG+GF+FC，得出$\frac{\sqrt{2}}{4}$（y+a）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{4}$a=3$\sqrt{2}$，即a=$\frac{12-3y}{2}$．再根据BG+GF+FE=BE得到$\frac{\sqrt{2}}{8}$（12-y）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{4}$（12-3y）=x，即y=-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x+12．

解答 解：分两种情况：
①当点N在边BC时，点E与N重合，如图1，此时0＜x≤3$\sqrt{2}$．
过点M作MG⊥BC于点G，
∵∠MNG=45°，∴MG=GN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y．
∵tan∠B=2，∴BG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$y．
∵BG+GE=BE，
∴$\frac{\sqrt{2}}{4}$y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=x，即y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x；
②当点N在BC延长线上时，如图2，此时3$\sqrt{2}$＜x≤$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．
过点M作MG⊥BC于点G，过点N作NF⊥BC于点F，过点N作NH⊥MG于点H，设NE=a，
∵∠MEG=45°，HN∥BC，
∴MH=HN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，NF=FE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，MG=GE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（y+a）．
∵AB=AC，tan∠B=2，∴tan∠NCF=2．∴FC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a．
又∵tan∠B=2，∴BG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（y+a）．
∵BC=BG+GF+FC，GF=HN，∴$\frac{\sqrt{2}}{4}$（y+a）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{4}$a=3$\sqrt{2}$，
∴a=$\frac{12-3y}{2}$．
∴FE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（12-3y），BG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（y+$\frac{12-3y}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{8}$（12-y），
∴$\frac{\sqrt{2}}{8}$（12-y）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{4}$（12-3y）=x，即y=-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x+12．
综上所述，y与x的函数关系为y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{2}}{3}x（0＜x≤3\sqrt{2}）}\\{-\frac{4\sqrt{2}}{3}x+12（3\sqrt{2}＜x≤\frac{9\sqrt{2}}{2}）}\end{array}\right.$．
故选D．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．