材料阅读:若一个整数能表示成a2+b2的形式.则称这个数为“完美数．例如:因为13=32+22.所以13是“完美数 ,再如:因为a2+2ab+2b2=(a+b)2+b2.所以a2+2ab+2b2也是“完美数．(1)请你写出一个大于20小于30 的“完美数 .并判断53是否为“完美数 ,(2)试判断(x2+9y2)•(4y2+x2)是否为“完美数 .并说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．材料阅读：
若一个整数能表示成a²+b²（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13=3²+2²，所以13是“完美数”；
再如：因为a²+2ab+2b²=（a+b）²+b²（a、b是正整数），所以a²+2ab+2b²也是“完美数”．
（1）请你写出一个大于20小于30 的“完美数”，并判断53是否为“完美数”；
（2）试判断（x²+9y²）•（4y²+x²）（x、y是正整数）是否为“完美数”，并说明理由．

分析（1）根据“完美数”的定义判断即可；
（2）根据多项式的乘法法则计算出结果后，根据“完美数”的定义判断即可．

解答解：（1）25=4²+3²，
∵53=49+4=7²+2²，
∴53是“完美数”；
（2）（x²+9y²）•（4y²+x²）是“完美数”，
理由：∵（x²+9y²）•（4y²+x²）=4x²y²+36y⁴+x⁴+9x²y²=13x²y²+36y⁴+x⁴=（6y²+x²）²+x²y²，
∴（x²+9y²）•（4y²+x²）是“完美数”．

点评本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念“完美数”是解题的关键．

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1．

完成证明并写出推理根据：
已知，如图，∠1=132°，∠ACB=48°，∠2=∠3，FH⊥AB于H．
求证：CD⊥AB．
证明：∵∠1=132°，∠ACB=48°，
∴∠1+∠ACB=180°
∴DE∥BC
∴∠2=∠DCB（两直线平行，内错角相等）
又∵∠2=∠3
∴∠3=∠DCB
∴HF∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠CDB=∠FHB．（两直线平行，同位角相等）
又∵FH⊥AB，
∴∠FHB=90°（垂直定义）
∴∠CDB=90°．
∴CD⊥AB．（垂直定义）

2．已知二次函数y=ax²+bx-2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a、b的值；
（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，点F以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿线段AC方向运动．当点F停止运动时，点E随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．
①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

19．下列说法中正确的是（　　）

	A．	有一组邻边相等的梯形是等腰梯形
	B．	一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
	C．	有一组对角互补的梯形是等腰梯形
	D．	有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形