题目内容

11．材料阅读：
若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13=32+22，所以13是“完美数”；
再如：因为a2+2ab+2b2=（a+b）2+b2（a、b是正整数），所以a2+2ab+2b2也是“完美数”．
（1）请你写出一个大于20小于30 的“完美数”，并判断53是否为“完美数”；
（2）试判断（x2+9y2）•（4y2+x2）（x、y是正整数）是否为“完美数”，并说明理由．

分析 （1）根据“完美数”的定义判断即可；
（2）根据多项式的乘法法则计算出结果后，根据“完美数”的定义判断即可．

解答 解：（1）25=42+32，
∵53=49+4=72+22，
∴53是“完美数”；
（2）（x2+9y2）•（4y2+x2）是“完美数”，
理由：∵（x2+9y2）•（4y2+x2）=4x2y2+36y4+x4+9x2y2=13x2y2+36y4+x4=（6y2+x2）2+x2y2，
∴（x2+9y2）•（4y2+x2）是“完美数”．

点评 本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念“完美数”是解题的关键．

练习册系列答案
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1．完成证明并写出推理根据：
已知，如图，∠1=132°，∠ACB=48°，∠2=∠3，FH⊥AB于H．
求证：CD⊥AB．
证明：∵∠1=132°，∠ACB=48°，
∴∠1+∠ACB=180°
∴DE∥BC
∴∠2=∠DCB（两直线平行，内错角相等）
又∵∠2=∠3
∴∠3=∠DCB
∴HF∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠CDB=∠FHB．（两直线平行，同位角相等）
又∵FH⊥AB，
∴∠FHB=90°（垂直定义）
∴∠CDB=90°．
∴CD⊥AB．（垂直定义）
2．已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a、b的值；
（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，点F以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿线段AC方向运动．当点F停止运动时，点E随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．
①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．
19．下列说法中正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
C．有一组对角互补的梯形是等腰梯形
D．有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形
6．计算代数式（a3b2）4的结果是（　　）
A．a7b6B．a7bC．a3b2D．a12b8
16．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
4．已知3a-2b=1，用a的代数式表示b为b=$\frac{3a-1}{2}$．
1．已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是a（a≠0），则a+b的值为（　　）
A．2B．-1C．0D．1
2．已知△ABC是等边三角形，点D是直线AC上的点，点E是直线BC上的点，且DB=DE，
（1）当点D在线段AC上（不与A，C重合）时，易证AD=CE；
（2）当点D在CA的延长线上；如图（3），当点D在AC的延长线上时，线段AD与CE有怎样的数量关系，直接写出你的猜想，并在图（2）和图（3）中选择一种情况给予证明．

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