Question

2．已知△ABC是等边三角形，点D是直线AC上的点，点E是直线BC上的点，且DB=DE，
（1）当点D在线段AC上（不与A，C重合）时，易证AD=CE；
（2）当点D在CA的延长线上；如图（3），当点D在AC的延长线上时，线段AD与CE有怎样的数量关系，直接写出你的猜想，并在图（2）和图（3）中选择一种情况给予证明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DM∥AB交CB于M．首先证明AD=BM．再证明△DBM≌△DEC，推出BM=CE，即可证明；
（2）如图2中，作DM∥AB交CB的延长线于M．首先证明AD=BM．再证明△DBM≌△DEC，推出BM=CE，即可证明；如图3中，作DM∥AB交BC的延长线于M．证明方法类似；

解答 解：（1）如图1中，作DM∥AB交CB于M．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠DMC=60°，∠BAC=∠MDC=60°，
∴△DMC是等边三角形，
∴DM=DC=CM，∠DMC=∠DCM=60°，
∴∠DMB=∠DCE
∵CA=CB，
∴BM=AD，
∵DB=DE，
∴∠DBE=∠E，
在△DBM和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠E}\\{∠DMB=∠DCE}\\{DB=DE}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△DEC，
∴BM=CE，
∴AD=EC．

（2）结论：不变．AD=EC．
理由：如图2中，作DM∥AB交CB的延长线于M．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠M=60°，∠BAC=∠MDC=60°，
∴△DMC是等边三角形，
∴DM=DC=CM，∠M=∠C=60°，
∵CA=CB，
∴BM=AD，
∵DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴∠DBM=∠DEC，
在△DBM和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠C}\\{∠DBM=∠DEC}\\{DB=DE}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△DEC，
∴BM=CE，
∴AD=EC．

如图3中，作DM∥AB交BC的延长线于M．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠DMC=60°，∠BAC=∠MDC=60°，
∴△DMC是等边三角形，
∴DM=DC=CM，∠DMB=∠DCM=60°，
∵CA=CB，
∴BM=AD，
∵DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴∠DBM=∠DEC，
在△DBM和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMB=∠DCE}\\{∠DBM=∠E}\\{DM=DC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DEC，
∴BM=CE，
∴AD=EC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．