Question

16．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，根据“若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，根据总价=单价×数量结合（1）的结论，即可得出关于a、b的二元一次方程，再由a、b均为不小于12的正整数，即可找出各进货方案；
（3）由上述四个方案算出每种方案利润，比较后即可得出结论．

解答 （1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{10x+5y=2000}\\{5x+3y=1050}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=150}\\{y=100}\end{array}\right.$．
答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元．
（2）设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，
根据题意得：150a+100b=4000，
化简得：3a+2b=80，即b=40-$\frac{3}{2}$a．
∵a、b均为不小于12的正整数，
∴当a=12时，b=22；当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13．
答：该商店共有四种进货方案．
（3）方案一：12×20+22×30=900（元）；
方案二：14×20+19×30=850（元）；
方案三：16×20+16×30=800（元）；
方案四：18×20+13×30=750（元）．
∴900＞850＞800＞750，
∴方案一利润最大．
答：A购进12件、B购进22件时，获利最大，最大利润为900元．

点评 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据总价=单价×数量，列出关于a、b的二元一次方程；（3）根据总利润=单价利润×数量，列式计算．