Question

4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．
（1）求证：△DOE∽△ABC；
（2）求证：∠ODF=∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S₁，四边形BCOD的面积为S₂，若$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{2}{7}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO=∠ACB，根据平行得出∠DOE=∠ABC，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的性质得出∠ODE=∠A，根据圆周角定理得出∠A=∠BDC，推出∠ODE=∠BDC即可；
（3）根据△DOE～△ABC求出S_△ABC=4S_△DOE=4S₁，求出S_△BOC=2S₁，求出2BE=OE，解直角三角形求出即可．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO=90°，
∴∠DEO=∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE=∠ABC，
∴△DOE～△ABC；

（2）证明：∵△DOE～△ABC，
∴∠ODE=∠A，
∵∠A和∠BDC是$\widehat{BC}$所对的圆周角，
∴∠A=∠BDC，
∴∠ODE=∠BDC，
∴∠ODF=∠BDE；

（3）解：∵△DOE～△ABC，
∴$\frac{{{S_{△DOE}}}}{{{S_{△ABC}}}}={（{\frac{OD}{AB}}）^2}=\frac{1}{4}$，
即S_△ABC=4S_△DOE=4S₁，
∵OA=OB，
∴${S_{△BOC}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$，即S_△BOC=2S₁，
∵$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2}{7}，{S_2}={S_{△BOC}}+{S_{△DOE}}+{S_{△DBE}}=2{S_1}+{S_1}+{S_{△DBE}}$，
∴${S_{△DBE}}=\frac{1}{2}{S_1}$，
∴$BE=\frac{1}{2}OE$，
即$OE=\frac{2}{3}OB=\frac{2}{3}OD$，
∴$sinA=sin∠ODE=\frac{OE}{OD}=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．