Question

15．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且BE=CF，连接AE，BF，EF、AF，点G、H、M、N分别是AB，AF，EF，BE的中点．
（1）猜想四边形GHMN的形状？并说明理由．
（2）若AB=4，CF=2，求四边形GHMN的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且BE=CF，判定△ABE≌△BCF（SAS），可得AE=BF，∠BAE=∠CBF，进而得出AE⊥BF，再根据点G、H、M、N分别是AB，AF，EF，BE的中点，可得四边形GHMN是正方形；
（2）根据勾股定理，可得Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，进而得出GN=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，据此可得正方形GHMN的面积．

解答 解：（1）四边形GHMN为正方形，理由如下：
∵正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且BE=CF，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠ABE=∠BCF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
又∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴AE⊥BF，
∵点G、H、M、N分别是AB，AF，EF，BE的中点，
∴GN=HM=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$BF=GH=MN，GH∥BF，GN∥AE，
∴四边形GHMN是菱形，∠HGN=90°，
∴四边形GHMN是正方形；

（2）∵BE=CF=2，AB=4，∠ABE=90°，
∴Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴GN=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
∴正方形GHMN的面积=NG²=5．

点评 本题主要考查了中点四边形，正方形的判定，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，解题时注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等；有一个角是直角的菱形是正方形．