Question

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是边AC、BC上一点，点P是AB所在直线上一动点，记∠PDA=∠1、∠PEB=∠2、∠DPE=∠3．
（1）如图1，若点P在A、B两点之间，连接CP、则∠3与∠1+∠2之间有何数量关系？请说明理由；
（2）若点P在BA的延长线上，且CE＜CD．
①当点P在图2所示位置时，∠1、∠2、∠3之间有何数量关系？请说明理由；
②当点P在图3所示位置时，①中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出此时∠1、∠2、∠3之间的数量关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，结论：∠1+∠2=90°+∠3．连接AC，利用三角形的外角的性质证明即可；
（2）①如图2中，结论：∠2=90°+∠1+∠3．利用三角形的外角的性质证明即可；
②如图3中，结论：①中的结论不成立．结论：∠2=90°+∠1-∠3，证明方法类似；

解答 解：（1）如图1中，结论：∠1+∠2=90°+∠3．

理由：连接AC．
∵∠2=∠ECP+∠EPC，∠1=∠DCP+∠DPC，∠3=∠EPC+∠DPC，∠ACB=∠ECP+∠DCP=90°，
∴∠1+∠2=（∠ECP+∠DCP）+（∠EPC+∠DPC）=90°+∠3．

（2）①如图2中，结论：∠2=90°+∠1+∠3．

理由：∵∠2=∠C+∠CFE=90°+∠CFE，
又∵∠CFE=∠1+∠3，
∴∠2=90°+∠1+∠3．

②如图3中，结论：①中的结论不成立．结论：∠2=90°+∠1-∠3．

理由：∵∠2=∠C+∠CFE=90°+∠CFE，
又∵∠1=∠DFP+∠3，∠CFE=∠DFP，
∴∠CFE=∠1-∠3，
∴∠2=90°+∠1-∠3．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，∠3转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．