Question

如图，抛物线y=x²+bx-3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），直线l与抛物线交于A、C亮点，其中C的横坐标为2．
（1）求A、C两点的坐标及直线AC的函数解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式．
（2）欲求△ACE面积的最大值，只需求得PE线段的最大值即可．PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为x，用x分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值．
（3）此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．

解答：解：（1）将A（-1，0），代入y=x²+bx-3，
得1-b-3=0，
解得 b=-2；
∴y=x²-2x-3．
将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3，
得y=-3，
∴C（2，-3）；
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1．

（2）∵A（-1，0），C（2，-3），
∴OA=1，OC=2，
∴S_△ACE=

1

2

PE×（OA+OC）=

1

2

PE×3=

3

2

PE，
∴当PE取得最大值时，△ACE的面积取最大值．
设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3）；
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
∴当x=

1

2

时，PE的最大值=

9

4

．
则S_△ACE最大=

3

2

PE=

3

2

×

9

4

=

27

8

，即△ACE的面积的最大值是

27

8

．

（3）存在4个这样的点F，分别是F₁（1，0），F₂（-3，0），F₃（4+

7

，0），F₄（4-

7

，0）．
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，
∵C（2，-3），G（0，-3）
∴CG∥X轴，此时AF=CG=2，
∴F点的坐标是（-3，0）；

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±

7

，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+

7

．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+

7

，0）；

④如图，同③可求出F的坐标为（4-

7

，0）；

综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．

点评：此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定、二次函数的应用、平行四边形的判定和性质等知识，（3）题应将所有的情况都考虑到，不要漏解．