Question

已知关于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：根的判别式,等腰三角形的判定,勾股定理的逆定理

专题：计算题

分析：（1）根据方程解的定义把x=-1代入方程得到（a+c）×（-1）²-2b+（a-c）=0，整理得a-b=0，即a=b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到△=（2b）²-4（a+c）（a-c）=0，整理得a²=b²+c²，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．

解答：解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=-1是方程的根，
∴（a+c）×（-1）²-2b+（a-c）=0，
∴a+c-2b+a-c=0，
∴a-b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2b）²-4（a+c）（a-c）=0，
∴4b²-4a²+4c²=0，
∴a²=b²+c²，
∴△ABC是直角三角形．

点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．