题目内容

如图，在平面直角坐标系中，动点P从点A（0，10）出发，以3个单位/秒的速度沿y轴向点O匀速运动，动点Q从点B（5，0）同时出发，以1单位/秒的速度沿x轴向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．以P、Q为圆心作⊙P和⊙Q，且⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．
（1）若⊙P与Rt△AOB的一边相切，求此时动点P的坐标；
（2）若⊙P与线段AB有两个公共点，求t的取值范围；
（3）是否存在某一时刻t，使⊙Q与Rt△AOB的边AB相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题
专题：综合题
分析：（1）①若⊙P与AB相切于点H，连接PH，如图1①，易证△AHP∽△AOB，根据相似三角形的性质就可求出t的值，就可得到点P的坐标；若⊙P与OB相切于点O，如图1②，容易求出OP的值，就可得到点P的坐标．
（2）若⊙P与线段AB有两个公共点，过点P作PH⊥AB于点H，如图2，根据相似三角形的性质可得到PH的长（用t的代数式表示），由⊙P与线段AB有两个公共点可得AP≥4且PH＜4，由此就可求出t的取值范围．
（3）若⊙Q与Rt△AOB的边AB相切于点G，连接QG，如图3，根据相似三角形的性质可求出t的值．
解答：解：（1）①若⊙P与AB相切于点H，连接PH，如图1①，

则PH⊥AB于点H．
∵A（0，10）即OA=10，B（5，0）即OB=5，∠AOB=90°，
∴AB=
OA2+OB2
=
100+25
=5
5
．
∵∠AHP=∠AOB=90°，∠PAH=∠BAO，
∴△AHP∽△AOB，
∴
PH
OB
=
AP
AB
．
∵PH=4，AP=3t，
∴
4
5
=
3t
5
5
，∴t=
4
5
3
．
此时OP=OA-AP=10-4
5
，点P的坐标为（0，10-4
5
）．
②若⊙P与OB相切于点O，如图1②，

则有OP=4，点P的坐标为（0，4）．
综上所述：当⊙P与Rt△AOB的一边相切时，点P的坐标为为（0，10-4
5
），（0，4）．

（2）若⊙P与线段AB有两个公共点，过点P作PH⊥AB于点H，如图2，

∵A（0，10）即OA=10，B（5，0）即OB=5，∠AOB=90°，
∴AB=
OA2+OB2
=
100+25
=5
5
．
∵∠AHP=∠AOB=90°，∠PAH=∠BAO，
∴△AHP∽△AOB，
∴
PH
OB
=
AP
AB
，∴
PH
5
=
3t
5
5
，
∴PH=
3
5
5
t．
∵⊙P与线段AB有两个公共点，
∴
3t≥4
3
5
5
t＜4
，
解得：
4
3
≤t＜
4
5
3
．
∴当⊙P与线段AB有两个公共点时，t的取值范围为
4
3
≤t＜
4
5
3
．

（3）若⊙Q与Rt△AOB的边AB相切于点G，连接QG，如图3，

则有QG⊥AB．
∵∠QGB=∠AOB=90°，∠GBQ=∠OBA，
∴△BGQ∽△BOA，
∴
QG
AO
=
QB
AB
，
∴
1
10
=
t
5
5
，
∴t=
5
2
．
此时
5
2
＜
10
3
，符合要求．
∴当t=
5
2
时，⊙Q与Rt△AOB的边AB相切．
点评：本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解不等式组等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
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a
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