Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，∠B=30°，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明OD∥AC，根据平行线的性质得到∠C=90°，根据切线的判定定理证明；
（2）过点O作OM⊥AD垂足为M，根据垂径定理和余弦的概念计算即可．

解答 （1）证明：连接OD，则OA=OD，
∴∠OAD=ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=AC÷cos30°=2$\sqrt{3}$，
过点O作OM⊥AD垂足为M，则AM=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，
OA=AM÷cos30°=2，
∴⊙O的半经为2．

点评 本题考查的是切线的判定定理、垂径定理、锐角三角函数的概念，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．