Question

12．已知长方形纸片ABCD的长AD=8，宽AB=4，如图（1）．
（1）将纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，如图（2）所示，若∠EFB=66°，求∠AED′的度数；
（2）如图（3）所示，若点P从点C以2个单位长度/秒的速度在边CB上向点B移动，同时点Q从点B以1个单位长度/秒的速度在边BA上向点A移动，设移动的时间为t（0＜t＜4）秒，请问：在点P，Q移动的过程中，是否存在时间t的某一取值范围，使得S_△ADQ＜S_△DPC？若存在，求出时间t的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由长方形的性质求出∠DEF=∠EFB=66°，再利用折叠的性质得出∠FEB=66°，最后利用平角的应用即可得出结论；
（2）先用t表示出△ADQ和△DPC的面积，建立不等式即可得出结论．

解答 解：（1）在长方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=66°，
由折叠知，∠FED'=∠DEF=66°，
∵∠AED'+∠FED'+∠DEF=180°，
∴∠AED'=180°-（∠FED'+∠DEF）=180°-（66°+66°）=48°，

（2）由题意知，QA=4-t，CP=2t，
∵AD=8，CD=4，
∴S_△ADQ=$\frac{1}{2}$AD•QA=$\frac{1}{2}$×8×QA=4（4-t），
S_△DPC=$\frac{1}{2}$CD•CP=$\frac{1}{2}$×4×CP=4t，
∵S_△ADQ＜S_△DPC，
∴4（4-t）＜4t，
∴t＞2，
∵0＜t＜4，
∴2＜t＜4，
即：2＜t＜4时，使得S_△ADQ＜S_△DPC．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了长方形的性质，折叠的性质，三角形的面积公式，解不等式，解（1）的关键是求出∠FED'=66°，解（2）的关键是用三角形的面积的不等关系建立不等式，是一道常规题．