Question

12．如图，抛物线y=x²+bx-c与x轴交A（-1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；
（2）点M是线段AC上的点（不与A，C重合），过M作MF∥y轴交抛物线于F，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MF的长；
（3）在（2）的条件下，连接FA、FC，是否存在m，使△AFC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式求出b和c的值即可求出抛物线解析式；再把点C的横坐标代入已求出的抛物线解析式可求出其纵坐标，进而可求出直线AC的表达式；
（2）已知点M的横坐标为m，点M又在直线AB上，所以可求出其纵坐标，而点F在抛物线上，所以可求出其纵坐标，进而可用m的代数式表示MF的长；
（3）存在m，使△AFC的面积最大，设直线MF与x轴交于点H，作CE⊥MF于E，由S_△AFC=$\frac{1}{2}$MF（AH+CE），可得关于m的二次函数关系式，根据函数的性质即可求出△AFC的最大值．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）带入y=x²+bx-c得$\left\{\begin{array}{l}{0=1+b-c}\\{0=9+3b-c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴解析式为：y=x²-2x-3，
把x=2带入y=x²-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（-1，0）、C（2，-3）带入得$\left\{\begin{array}{l}{0=k+m}\\{-3=2k+m}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x-1；
（2）∵点M在直线AC上，
∴M的坐标为（m，-m-1）；
∵点F在抛物线y=x²-2x-3上，
∴F点的坐标为（m，m²-2m-3），
∴MF=（-m-1）-（ m²-2m-3）=-m²+m+2；
（3）存在m，使△AFC的面积最大，理由如下：
设直线MF与x轴交于点H，作CE⊥MF于E，
S_△AFC=$\frac{1}{2}$MF（AH+CE）=$\frac{1}{2}$MF（2+1）=$\frac{3}{2}$MF，
=$\frac{3}{2}$（-m²+m+2），
=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$≤$\frac{27}{8}$
∴当m=$\frac{1}{2}$时，△AFC的面积最大为$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了和二次函数有关的综合性题目，考查的知识点有：函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、二次函数性质的应用以及图形面积的解法．（3）的解法较多，也可通过图形的面积差等方法来列函数关系式，可根据自己的习惯来选择熟练的解法．