Question

10．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD，延长CE、BA交于点F，连接AC、DF．
（1）如图1，求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）如图2，连接BE，若AE=5，tan∠AEB=$\frac{1}{2}$，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质得出∠DEC=∠BCF，再由角平分线得出∠DEC=∠FCD，得出DE=DC，证出AE=DE，由已知条件得出EF=EC，即AD与FC互相平分，即可得出结论；
（2）由平行线的性质和已知条件得出AB=CD=5，由平行四边形的性质得出BF=BC．证出BF⊥CE，由三角函数得出$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$，设CE=x，则BE=2x，由勾股定理得出方程，解方程求出CE=EF=2$\sqrt{5}$，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠DEC=∠BCF，
又∵CE平分∠BCD，
∴∠BCF=∠FCD，
∴∠DEC=∠FCD，
∴DE=DC，
∵AD=2AB，
∴AD=2CD=2DE，
∴AE=DE，
∵AB∥CD，
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{AE}{DE}=1$，
∴EF=EC，
∴AD与FC互相平分，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE
∵tan∠AEB=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠CBE=$\frac{1}{2}$，
∵AE=5，且AE=DE，
∴AD=5+5=10，
∴AD=2AB=10，
∴AB=CD=5，
∵四边形ACDF是平行四边形，
∴AF=CD=5，
∴BF=AB+AF=10
∴BF=BC．
又∵EF=CE，
∴BF⊥CE，
  在Rt△CEB中，tan∠CBE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$，
设CE=x，则BE=2x 
在Rt△CBE中，BC²=CE²+BE²，
即：10²=x²+（2x）²
解得：x=2$\sqrt{5}$，
∴CE=EF=2$\sqrt{5}$，
∴CF=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理、三角函数、勾股定理等知识；本题有一定难度，运用勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．