Question

如图，直线y=ax+b与双曲线y=

k

x

有一个交点A（1，2）且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知△AOB的面积为3．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP是等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的P点坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据双曲线y=

k

x

过点A（1，2），利用待定系数法，可得双曲线解析式，根据△AOB的面积为3，可得B点坐标，根据直线过A、B两点，利用待定系数法，可得直线解析式；
（2）根据两边相等的三角形是等腰三角形，分类讨论，AB=AP，AB=BP，AP=BP，可得答案．

解答：解：（1）∵双曲线y=

k

x

过点A（1，2），
∴2=

k

1

，k=2，
双曲线的解析式是y=

2

x

，
∵△AOB的面积为3，底是OB的长，高是A点的纵坐标，

1

2

×2×OB=3，
∴B点坐标是（3，0），
∵直线y=ax+b过点A、B，
∴2=a+b ①，0=3a+b②，
②-①得
a=-1，b=3，
∴一次函数的解析式是y=-x+3；
（2）设P点坐标为（x，0），AB=

(3-1)2+(0-2)2

=2

2

，
当AP=PB时，

(x-1)2+(0-2)2

=2

2

，
x=3（不合题意，舍）或x=-1，
P点坐标（-1，0），
当AB=BP时，PB=2

2

，
∴P点坐标为（3-2

2

，0）或（3+2

2

，0），
当AP=BP时，

(x-1)2+(0-3)2

=

(x-3)2

，
x=

1

4

，
P点坐标是（

1

4

，0）．
故P（-1，0），（3-2

2

，0），（3+2

2

，0），（

1

4

，0）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题，（1）利用待定系数法求解是解题关键；（2）分类讨论是解题关键．