Question

已知关于x的方程x²+px+q+1=0有一个实数根2．
（1）用含p的代数式表示q；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,一元二次方程的解

专题：

分析：（1）把x=2代入关于x的方程x²+px+q+1=0，然后用含p的代数式表示q；
（2）令x²+px+q=0，通过该关于x的方程的根的判别式的符号进行证明．

解答：（1）解：∵关于x的方程x²+px+q+1=0有一个实数根2，
∴2²+2p+q+1=0，
∴q=-5-2p；

（2）证明：令x²+px+q=0．
∵根的判别式△=p²-4q=p²-4（-5-2p）=（p+4）²+4＞0，
∴关于x的一元二次方程x²+px+q=0有2个不相等的实数根，即抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解的定义．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．
△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．