Question

如图1，将长方形纸片沿对角线AC折叠，使点D与点M重合，AM与DC交于点N，请判断△CAN的形状并说明理由．如图2，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′处，若AB=3，AD=4，AC=5，求AE的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：如图1，证明∠DAC=∠ACN；进而证明∠ACN=∠NAC，即可解决问题．
如图2，证明∠AD′E=90°；设AE=λ，则D′E=DE=4-λ，由勾股定理列出方程λ²=2²+（4-λ）²，即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACN；
由题意得：∠DAC=∠NAC，
∴∠ACN=∠NAC，
∴AN=CN，△ANC为等腰三角形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，DC=AB=3；
由题意得：∠AD′E=∠D=90°，D′C=DC=3，
∴AD′=5-3=2；设AE=λ，则D′E=DE=4-λ，
由勾股定理得：λ²=2²+（4-λ）²，
解得：λ=2.5，
即AE的长=2.5．

点评：该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．