Question

17．如图，△ABC中，∠BAC=45°，过A、B两点的⊙O交AC于点D，且OD∥BC，OD交AB于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠OEB=60°，求AD：CD的值．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据已知条件得到∠BOD=90°，根据平行线的性质得到∠OBC=90°，根据切线的判定定理即刻得到结论；
（2）连接OA，根据直角三角形的性质得到∠OBA=30°，OE=$\frac{1}{2}$BE，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA=30°，于是得到AE=OE=$\frac{1}{2}$BE，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OB，
∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=90°，
∵OD∥BC，
∴∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：连接OA，
∵∠OEB=60°，
∴∠OBA=30°，OE=$\frac{1}{2}$BE，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOE=30°，
∴AE=OE=$\frac{1}{2}$BE，
∵DO∥BC，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线构造等腰三角形是解题的关键．