Question

20．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于（2，0），（x₁，0）且1＜x₁＜2，与y轴正半轴交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②b²-4ac＞-8a；③4a+c＜0；④2a-b+1＜0，其中正确的是：②．

Answer 1

分析 根据已知画出图象，得到抛物线开口向上，则a＞0，由对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＞0可知b＜0，由与y轴正半轴交点在（0，2）的下方可知0＜c＜2，由与x轴交于两点可知＞0，根据结论判断即可．

解答 解：根据二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，画出图象为：如图
由图象开口向下知a＞0，
由y=ax²+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x₁，0 ），且1＜x₁＜2，
则该抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＜0，∴①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，
∵a＞0，
∴-8a＜0，
∴b²-4ac＞-8a，∴②正确；
∵a＞0，c＞0，
∴4a+c＞0，∴③错误；
∵a＞0，b＜0，
∴2a-b+1＞0，∴④错误．
故答案为②．

点评 本题考查了二次函数和系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，当a＞0，抛物线的开口向上，在对称轴x=-$\frac{b}{2a}$的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴x=-$\frac{b}{2a}$的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0，抛物线的开口向下，当x=-$\frac{b}{2a}$时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．