Question

17．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM=4，AN=3，且∠MAN=60°，则AB的长是$\frac{14}{3}$．

Answer 1

分析 首先延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，易证得△ABM≌△ECM，即可得AB=$\frac{2}{3}$NE，然后由AM=4，AN=3，且∠MAN=60°，求得AH，NH与EH的长，继而求得EN的长，则可求得答案．

解答 解：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠BAM=∠CEM，∠B=∠ECM．
∵M为BC的中点，
∴BM=CM．
在△ABM和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CEM}\\{∠B=∠ECM}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB=CD=CE，AM=EM=4，
∵N为边DC的中点，
∴NE=3NC=$\frac{3}{2}$AB，即AB=$\frac{2}{3}$NE，
∵AN=3，AE=2AM=8，且∠MAN=60°，
∴∠AEH=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AE=4，
∴EH=$\sqrt{A{E}^{2}-A{H}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴NH=AH-AN=4-3=1，
∴EN=$\sqrt{N{H}^{2}+E{H}^{2}}$=7，
∴AB=$\frac{2}{3}$×7=$\frac{14}{3}$．
故答案为$\frac{14}{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．