Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，M是AD 的中点，过点A作AN∥BC交BM的延长线于点N．
（1）求证：△AMN≌△DMB；
（2）求证：四边形ADCN是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据AAS证明△AMN≌△DMB即可；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到AN=BD．证出四边形ADCF是平行四边形，再由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；

解答 （1）证明：①∵NF∥BC，
∴∠ANM=∠DBM，
∵M是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AM=DM，BD=CD，
在△AMN和△DMB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ANM=∠DBM}&{\;}\\{∠NMA=∠BMD}&{\;}\\{AM=DM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△DMB（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AMN≌△DMB，则AN=DB．
∵DB=DC，
∴AN=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，M是AD的中点，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∴四边形ADCF是菱形．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形的面积计算；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．