Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB：BC=5：4，对角线AC，BC相交于点O，且BC⊥BD，BC=6，试求AB、AC的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：先由AB：BC=5：4，BC=6，求出AB=

5BC

4

=7.5．再设OB=x，OC=y，根据平行四边形的性质及已知BC⊥BD，得出BD=2OB=2x，AC=2OC=2y，∠ADB=∠DBC=90°，AD=BC=6．在Rt△OBC中，由勾股定理得出x²+6²=y² ①，在Rt△ADB中，由勾股定理得出（2x）²+6²=7.5² ，解方程求出x=2.25，把x=2.25代入①，求出y的值，进而求出AC．

解答：解：∵AB：BC=5：4，BC=6，
∴AB=

5BC

4

=7.5．
设OB=x，OC=y，
∵在平行四边形ABCD中，对角线AC，BC相交于点O，BC⊥BD，
∴BD=2OB=2x，AC=2OC=2y，∠ADB=∠DBC=90°，AD=BC=6．
在Rt△OBC中，∵∠OBC=90°，
∴OB²+BC²=OC²，即x²+6²=y² ①，
在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，
∴BD²+AD²=AB²，即（2x）²+6²=7.5² ，
解得x=±2.25（负值舍去），
把x=2.25代入①，得2.25²+6²=y² ，
解得y=±

3 73

4

（负值舍去），
∴AC=2y=

3 73

2

．
故AB=7.5，AC=

3 73

2

．

点评：本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，比例的性质，难度适中．正确求出OB的长是解题的关键．