Question

19．求证：不论m取什么实数，方程x²-（m²+m）x+m-2=0必有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 利用数形结合思想，将一元二次方程的解转化成二次函数图象与x轴的交点横坐标来解决，再根据抛物线的开口方向以及当x=1时y＜0即可证出结论．

解答 证明：把方程x²-（m²+m）x+m-2=0看成二次函数y=x²-（m²+m）x+m-2与x轴交点的问题，画出图形如图所示．
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上．
∵当x=1时，y=1-（m²+m）+m-2=-1-m²＜0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故不论m取什么实数，方程x²-（m²+m）x+m-2=0必有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了方程与函数之间的关系，解题的关键是利用数形结合的思想化解方程为寻找函数图象与x轴交点问题．本题属于中档题，利用数形结合的思想较简便，若用根的判别式则难度较大．